Dominos de fracciones

El siguiente archivo recoge un dominó con fracciones para que los alumnos trabajen en clase.
Otros dominos

Actividades de matemáticas para vacaciones de navidad

Antes de nada Feliz Navidad a tod@s.

Como regalo anticipado de estas fiestas os regalo un calendario del 2015 que hay que construir. La figura que os sale es un dodecaedro. Cuidado que sólo hay que cortar las líneas continuas. Las discontinuas no se cortan, serán las que hay que doblar para luego pegar.

Por otro lado, y como sabéis cuando vengamos de vacaciones tendremos un examen de recuperación de Matemáticas para los alumnos que hayan suspendido la materia en la 1ª evaluación. En concreto el examen será el Miércoles 7 de Enero de 2015 a las 12:00 en el Salón de Actos.
Éstos alumnos tendrán que realizar las actividades que a continuación detallo presentándolas en unas hojas independientes del cuaderno de clase. Serán  imprescindibles la presentación de éstas actividades  para poder tener derecho a la realización del examen.
Las actividades que habrá que realizar serán todas desde la página 1 a la página 52 del siguiente archivo. Los enunciados de los ejercicios ( es obligatorio copiar los enunciados )irán en un color y la realización en otro color.

Por otro lado, para aquellos alumnos que quieran hacer algo relacionado con las matemáticas, les remito a la siguiente página en la que hay varias lecturas, muy cortas y divertidas, relacionadas con las matemáticas. Luego, si tienen ganas pueden hacerme un escrito en el que me pregunten aquello que no hayan entendido y que es lo que más le ha llamado la atención

A quien le guste le aviso que en la carta a los Reyes Magos pueden pedir un libro escrito por la misma autora y que está muy bien

Un saludo a tod@s

Usando lightbot en clase

La hora del código es una iniciativa a nivel mundial para fomentar la programación y el uso de la Tecnología.
Nosotros so clase hemos estado usando el programa lightbot

Los espías saben muchas mates II

Os dejo esta otra historia para profundizar más

Las matemáticas en la NASA de los 60

Así eran las matemáticas y la ciencia que se usó para ir a la luna en la década de los 60 en la NASA.

Imágenes de científicos españoles

Imágenes de científicos españoles

Papiroflexia

libro de fractales y kirigami

Vídeo de origami de Robert Lang

Historia de los números I

Figura 1. Representación del sabio hindú Brahmagupta

Si reflexionamos sobre los símbolos que usamos al escribir nos daremos cuenta de un hecho significativo: nuestro abecedario se fundamenta en la lengua latina, pero de pequeños nos enseñaron a representar dos tipos de números, los romanos y los que utilizamos habitualmente para el cálculo. Si tenemos un abecedario latino, ¿por qué no utilizamos también los números romanos para el resto de cosas?

A comienzos de la Edad Media casi todos los países europeos utilizaban el sistema numérico romano, el cual tiene varios signos para representar los números. Estos son el I, V, X, L, C, D y M, es decir el 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1.000. Para representar un número determinado, se ponen tantas letras como haga falta para que la suma nos de la cantidad adecuada. Al principio se estableció un orden de magnitud en la colocación de los signos: los más grandes iban antes que los más pequeños (teniendo en cuenta que se escribía de izquierda a derecha). Este orden se alteró cuando, para abreviar la escritura, se empezó a colocar signos de menor magnitud a la izquierda de los signos de mayor magnitud, lo cual significaba que los valores pequeños se restaban a los grandes. Por ejemplo, podíamos escribir el número 39 cómo XXXVIIII o como XXXIX. La notación corta terminó por imponerse. Como se puede observar, el sistema de numeración romano era poco práctico y dificultaba trabajar con números grandes. Esto produjo varios intentos por simplificar el sistema, siendo uno de los más importantes el que ocurrió en España.

La cuenta castellana

Figura 2. El maravedí, antigua moneda española utilizada entre los siglos XII y XIX

A lo largo del periodo 1350-1450, la cantidad de oro y plata circulante se redujo drásticamente en Europa. Esto ocurrió por la disminución del comercio con Oriente y la desaparición del Imperio Bizantino, lo cual dio paso a la expansión turca por el Mediterráneo. Todo esto dificultó mucho el comercio de metales preciosos. Por ejemplo, se estima que a pesar de que Cataluña era el territorio mejor conectado con Europa, la cantidad de oro acuñado en forma de moneda en esta región se redujo a la quinta parte de la producción del siglo anterior.

Tras la unificación española el dinero escaseaba y había en circulación demasiados tipos de moneda diferentes, así que en el reinado de los Reyes Católicos se fijó una equivalencia entre todas las monedas existentes y el maravedí, el cual no se acuñaba y tenía un valor simbólico. Es decir, el maravedí se utilizaba para poder comparar las diferentes divisas que estaban presentes en todo el territorio. No obstante, después de todo este jaleo se decidió que lo mejor era acuñar una nueva moneda de cobre cuyo valor sí que estuviera expresado en maravedís. Cuando llegó el reinado de Felipe III y Felipe IV, se comenzó a utilizar una estrategia para obtener oro: si se necesitaban fondos el Estado acuñaba más monedas de cobre para proporcionar mayor moneda circulante. Al mismo tiempo, se retiraban monedas de oro y plata del mercado nacional para satisfacer las cantidades de metal preciado que había que pagar a la banca internacional. Es decir, sacaban oro y plata para introducir cobre. Como es lógico, esto creó una espiral de inflación y cada vez se necesitaban más maravedís para comprar lo que antes se compraba con monedas de mayor calidad. La moneda oficial perdió casi todo su valor tras un largo proceso de devaluación, y las cantidades que se manejaban eran gigantescas, así que los contables de la época tuvieron que ingeniárselas para rellenar los libros de contabilidad, en los cuales se tenían que escribir filas enormes con los números romanos a representar. De este modo se inventaron nuevos símbolos con nuevas funciones para el sistema numeral romano, como por ejemplo el calderón, el cual tenía forma de U y multiplicaba por 1.000 todas las cantidades a su izquierda. Este nuevo sistema, conocido habitualmente comocuenta castellana, permitía escribir números de forma más fácil, pero seguía sin solucionar los principales problemas del sistema numérico romano, como por ejemplo que hacer operaciones complejas sin la ayuda de un ábaco era prácticamente imposible. Esto nos llevará a la siguiente etapa de nuestro viaje por la historia.

El sistema de numeración indoarábigo

El sistema de numeración que utilizamos hoy en día se llama indoarábigo, y es considerado por muchos matemáticos uno de los avances más significativos de las matemáticas. Nuestros números actuales tuvieron su origen en la India y se expandieron por el mundo islámico, llegando al resto de Europa a través del puente cultural que supuso Al-Andalus, aunque eso es una historia que contaremos otro día. La pregunta clave es, ¿cómo nació el sistema indoarábigo?

En primer lugar habría que definir un concepto importante, el de sistema numérico. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten construir todos los números válidos para ese sistema. A grandes rasgos hay dos tipos de numeración, los no posicionales y los posicionales. El primero consiste en adoptar un símbolo patrón que represente una cantidad determinada de cosas y repetirlo tantas veces como unidades haya. Un ejemplo podría ser utilizar los dedos para contar y referirse a una cantidad como el número de manos que representa. Por ejemplo, “cuatro manos y dos dedos” podría ser el número que nosotros escribimos como 22, ya que en cuatro manos hay 20 dedos, y si le sumamos los dos dedos que nos faltan tenemos 22. Por otro lado, un sistema de numeración posicional consiste en atribuir un símbolo propio a unos pocos números, y entonces considerar un conjunto ordenado de esos símbolos como un número diferente. Nuestro sistema numérico es un buen ejemplo, donde el número 976 no se parece en nada al 769, a pesar de que ambos están formados por el 9, el 7 y el 6.

Una vez explicadas estas definiciones básicas veremos cómo nació nuestro sistema numérico. La historia comenzó en la India, donde sus habitantes usaban un sistema numeral muy rudimentario. Los matemáticos y astrónomos hindúes comprendieron que con ese sistema se dificultaba mucho la tarea de trabajar con números elevados. No se sabe muy bien cómo sucedió, pero lo más probable es que, inspirados por el sistema numeral chino Hua Ma, los astrónomos hindúes comenzaron a usar un sistema numérico posicional con 9 números básicos.

Los números en este nuevo sistema hindú eran escritos de manera fonética, y si el número era mayor que 9 entonces se utilizaban las distintas potencias de diez para representarlo. Por ejemplo, 996 podía escribirse como seis, más nueve por diez, más nueve por cien. Todo esto era escrito utilizando las transcripciones fonéticas de los números, y cómo podéis suponer era excesivamente largo. Esta numeración fue un avance importante, pero para solucionar el problema de la longitud decidieron usar símbolos y eliminar cualquier mención a las bases y sus potencias. Sólo conservaban el número, pero la posición de dicho número indicaba, a su vez, por qué potencia de diez había que multiplicarlo. Por ejemplo, si teníamos 985, la tercera posición del 9 indicaba que había que multiplicarlo por 100, la segunda posición del 8 indicaba que había que multiplicarlo por 10, y el primer lugar del 5 indicaba que había que multiplicarlo por 1. Un sistema muy ingenioso, pero un número podía no tener una cifra en una determinada posición. Es decir, el número 608 se escribía del mismo modo que 68, aunque en el primer caso situaban un hueco entre los dos números. ¿Qué ocurriría si teníamos que escribir 60008? Lo que para una persona eran tres huecos para otra podían ser dos. Pronto fue evidente que en este nuevo sistema no quedaba tan claro qué número ocupaba cada posición. Para resolver este problema los astrónomos inventaron el concepto de hueco numérico, el cual se ponía para indicar que en esa posición no iba ningún número. Este hueco era representado con un punto. Había nacido el concepto de cero como elemento posicional para indicar la ausencia de un número, aunque aún no existía el cero como un número con el cual poder hacer operaciones.

Figura 3. Representación de la evolución de los símbolos utilizados para representar los diez números del sistema numeral indoarábigo, con algunos números representados usando la notación árabe del este, que se originaría varios siglos después de la invención de nuestro sistema numeral.

El cero
Los sumerios, los chinos y los mayas también se enfrentaron a ese hueco numérico en sus respectivos sistemas, de los cuales hablaremos en otros artículos. No obstante los hindúes transformaron esta notación en un método de numeración avanzada que podía representar cualquier cantidad. Poco a poco, los hindúes se percataron de que su nuevo sistema permitía escribir los números de forma fácil pero imposibilitaba hacer algunos cálculos, ya que el vacío que dejaba el primitivo cero no era un número con el cual se pudiera operar, ¿cómo trabajar con él?

En el año 628 D.C, un matemático hindú llamado Brahmagupta definió lo que era el cero. Lo hizo en su libro tituladoBrahmasphutasiddhanta (La apertura del universo). En él atribuyó un signo al vacío que dibujaban sus contemporáneos. Brahmagupta definió al cero como el resultado de restarle a un número él mismo. Además formuló las reglas matemáticas para operar con él, lo que les permitió describir operaciones sencillas para hacer sumas, restas, divisiones, multiplicaciones y algunas operaciones más. Falló solamente a la hora de definir divisiones que implicaban al cero como denominador, pero por lo demás su libro permitió tratar matemáticamente al hueco numérico como a un número más. Había nacido el cero tal y como lo conocemos nosotros, y esto permitió realizar operaciones de manera rápida y efectiva.

Podría parecer una tontería, pero la invención de este sistema numérico hizo más fácil el cálculo y permitió el avance en muchas disciplinas, como por ejemplo la geometría, el álgebra o la astronomía. Todos estos avances se tradujeron en mejoras en muchos campos del conocimiento aplicado, como por ejemplo la agricultura. Y fue por esa practicidad y por resolver todos los problemas anteriores por lo que los números indoarábigos sustituyeron a los romanos, aunque esa batalla entre ambos sistemas será contada en otro artículo.

Tendemos a pensar que el cero no sirve para nada, pero la mayor parte de la humanidad ignora que se tardó muchos siglos en descubrirlo, y de hecho hubo hasta tres intentos anteriores por definirlo, perdiéndose dichos esfuerzos en los gigantes mares de la historia. El matemático hindú Brahmagupta definió matemáticamente lo que muchos habían intuido; que el concepto de ausencia podía tener una gran importancia para medir las cosas.

Historia de los números II

Figura 1. Los babilonios fueron los herederos culturales de los sumerios. En este mapa vemos el reino de la primera dinastía de Babilonia desde el principio del reinado de Hammurabi (1792-1750 a.C.) hasta el año 1595 a.C.

Introducción

El número cero tiene muchas funciones diferentes. Para empezar hace referencia a la nada, pero por otro lado también cumple una función vital en nuestro sistema de representación numérico, ya que se usa como indicador de posición vacía. Sin el cero nuestro sistema numeral no tendría sentido, tal y como vimos en el artículo anterior de Historia de los números [1]. Esto se traduce en que el cero nos ha permitido tener un sistema que permite el cálculo fácil y la representación rápida de cualquier cantidad.

Anteriormente dijimos que los sumerios, los mayas y los chinos también habían llegado a una aproximación del concepto de cero, y en este post ahondaremos en ese concepto y sus implicaciones para la cultura sumeria y babilónica.

Comentamos anteriormente que hay dos tipos de sistemas numéricos, los no posicionales y los posicionales. El primero consiste en adoptar un símbolo que representa una cantidad determinada y repetirlo muchas veces, como por ejemplo el romano. El segundo tipo de numeración, al cual llamamosposicional, consiste en atribuir a unos pocos elementos un símbolo y considerar un conjunto ordenado de esos símbolos como un número diferente; 87 no es lo mismo que 78.

Sesenta números diferentes

Una vez terminado este breve recordatorio comenzaremos a hablar de otras civilizaciones. Los sumerios fueron el primer pueblo conocido en inventar un sistema numeral posicional, el cual heredarían a su vez los babilonios. No obstante su sistema no se basaba en diez números diferentes, sino en cincuenta y nueve. Es decir, los sumerios utilizaban 59 elementos para formar los primeros números, pero a partir del 60 utilizaban repeticiones de símbolos anteriores, siendo la posición de los números la que definía la cantidad exacta:

Figura 2. Números del uno al 59 en el sistema numeral sumerio.

Viendo esto uno podría preguntarse por qué utilizar 60 números. Los hindúes y los chinos usaban diez por los dedos de las manos, ¿pero por qué los sumerios usaban 60 números diferentes? La respuesta también está en nuestras extremidades, que parecen haber sido inspiradoras para el surgimiento de la numeración en casi todas las culturas. Los sumerios utilizaban el dedo gordo para señalar las diferentes falanges de los cuatro dedos restantes de esa mano, empezando por el meñique. Cuando habían contado todas las falanges levantaban un dedo de la otra mano y volvían a empezar. Los babilonios contaban doce falanges por cada mano, y en la otra solo tenían cinco dedos para levantar. Así obtenemos la clave del origen de su sistema sexagesimal, ya que doce falanges por cinco dedos levantados son igual a sesenta.

Figura 3. Esquematización de cómo contaban los sumerios utilizando las falanges de una mano.

Algunos ejemplos de construcciones numéricas

El sistema sumerio presentaba problemas, ya que algunos números podían escribirse igual al cambiar de un grupo de 60 números al siguiente; algo parecido a lo que les pasaría a los hindúes más de dos milenios después. Y como en la historia de la humanidad algunas civilizaciones han encontrado soluciones parecidas a los mismos problemas, los escribas sumerios se dieron cuenta, al igual que lo harían los hindúes, de que había que dejar un espacio vacío entre algunos números para diferenciarlos; algo parecido a cuando nosotros diferenciamos el 68 del 608 utilizando un cero. Los escribas dejaban un hueco entre los números, pero cada uno dejaba una distancia diferente y lo era un hueco podía confundirse fácilmente con dos. Cuando se dieron cuenta de que no se podía utilizar un espacio vacío se inventó un apóstrofe para mostrar la ausencia de número. Este símbolo podría considerarse como una aproximación a una de las dos funciones que tiene nuestro cero, en concreto la función posicional para indicar el salto de un grupo decimal al siguiente. Para que entendamos esto pondré un ejemplo:

Tenemos el número sumerio que se escribe como  . La primera posición está ocupada por el símbolo que significaría tres en nuestro sistema numérico. La posición indica que hay que multiplicar ese número por uno, es decir, 3 x 1 = 3. La segunda posición está ocupada por un apóstrofe, lo cual significa que no existe ningún número, por lo que tendríamos que multiplicar ese número por 60, es decir, 0 x 60 = 0. La tercera posición del número está ocupada por un dos, así que habría que multiplicar ese número por 3600 (60 x 60), es decir, 2 x 60 x 60 = 7200. Si sumamos todas las posiciones obtenemos el número en cuestión, que es el 7203. Puede que el lector piense que es una forma muy extraña de representar los números, pero nosotros lo hacemos exactamente igual, observemos el proceso lógico que usaríamos nosotros para escribir el mismo número:

En este caso, la primera posición indicaría que hay que multiplicar tres por uno, es decir, 3 x 1 = 3. La segunda posición está ocupada por un cero, que en el sistema numeral sumerio era un apóstrofe. Esto indicaría que hay que multiplicar el cero por diez, es decir, 0 x 10 = 0. La tercera posición la ocupa un 2, eso significaría 2 x 10 x 10 = 200. Y la cuarta posición es un 7, lo que sería equivalente a 7 x 10 x 10 x 10 = 7000. Si lo sumamos todo nos dá 7203. Nuestra forma de construir números, como podemos observar, es exactamente igual a la de los sumerios.

La tablilla Plimpton 322

Llegados a este punto podría parecernos un sistema totalmente extraño; ¿60 números diferentes en vez de 10? Lo interesante es que, en realidad, nosotros también usamos su sistema numeral junto al hindú y al romano, ya que nuestro sistema sexagesimal para medir el tiempo y los ángulos se basa en el sistema numérico babilónico. Decimos que una hora tiene sesenta minutos y que un círculo contiene 360 grados, y todo ello gracias a que los babilonios inventaron un sistema numérico que les permitió medir mejor el tiempo y desarrollar la geometría. De hecho, avanzaron tanto en estas áreas que los hallazgos más sorprendentes de esta cultura están asociados directamente con las matemáticas.

Desde el surgimiento temprano de la civilización sumeria hasta la caída de Babilonia en el 539 a. C., los escritos referidos a las matemáticas son los más abundantes en estas dos civilizaciones, y tal vez el conocimiento de esta disciplina fue lo que permitió su elevado desarrollo técnico. Nuestro conocimiento sobre las matemáticas de esta época se fundamenta en unas 400 tablillas de arcilla escritas en simbología cuneiforme. Hay escritos con tablas de multiplicar, ejercicios geométricos, divisiones y números precalculados para realizar rápidamente operaciones.

Los sumerios no tenían una metodología para hacer divisiones largas, en parte debido a no poder usar el cero como un número. No obstante, estos incipientes matemáticos desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Para solucionar las de segundo grado usaban la fórmula que nosotros conocemos actualmente, la cual fue redescubierta milenios más tarde. La diferencia es que ellos solo usaban raíces positivas, ya que eran las únicas que tenían sentido para resolver sus problemas cotidianos. También hay ejemplos de resolución de ecuaciones cúbicas, y han llegado hasta nosotros ejercicios sobre cómo resolver problemas de interés compuesto, es decir, calcular cuánto dinero tenemos que devolver a alguien después de que nos deje dinero. [2]

Los sumerios introdujeron las primeras medidas estándar para medir la longitud (pies) y el peso (talentos), y también fueron los primeros en medir el tiempo. Habían aproximado el valor de π a 3, por lo que podían medir de manera bastante certera los volúmenes de cilindros y el área de figuras circulares. Los astrónomos asirios y babilonios registraron de forma detallada los movimientos estelares, el de los planetas y los eclipses solares y lunares, haciendo cálculos muy precisos con todos esos datos. Esto les permitió conocer y predecir mejor los cambios estacionales, otorgándoles claras ventajas adaptativas como sociedad. Para realizar algunos de sus cálculos astronómicos utilizaron una metodología muy próxima a lo que nosotros conocemos hoy en día como análisis de Fourier [3].

De todos los textos conservados, el que más nos puede mostrar de forma rápida lo avanzada que se encontraban sus matemáticas es la tablilla Plimpton 322, datada entre los años 1900 y 1600 a.C. Dicha tablilla es una prueba directa de que los babilonios conocían métodos para construir triángulos que cumplían el teorema de Pitágoras, y todo ello antes de que el teorema fuera enunciado.

Figura 4. Tablilla Plimpton 322

La tabla de arcilla Plimpton 322 recibe su nombre del editor neoyorkino George Arthur Plimpton, que la compró en 1922. La tablilla proviene de Senkereh, una región del sur de Irak y que corresponde a la antigua ciudad de Larsa. La transcripción literal de la tablilla es la siguiente:

Figura 5. Transcripción a nuestro sistema numérico de la tablilla Plimpton 322

Pero, ¿qué significan todos estos números? Tenemos que tener en cuenta que los babilonios usaban un sistema numeral sexagesimal, así que tomaremos los valores de la sexta línea e intentaremos traducirlos a nuestra base decimal. Si el lector no entiende los cálculos que se van a realizar no es demasiado importante, lo más relevante es que entienda que, dado que los babilonios usaban un sistema basado en 60 números principales, debemos convertir los números a nuestro sistema decimal, tal cual hicimos en un ejemplo anterior. La conversión de la sexta línea de la tablilla quedaría así:

Primera columna: 1,   47   6   41   40 = 1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4 = 1,785192901

Segunda columna: 5   19 =  5.601 + 19.600 =  319

Tercera columna: 8   1 = 8. 601 + 1. 600 = 481

Cuarta columna: 6

La cuarta columna indica el orden de las operaciones realizadas en la tablilla pero, ¿qué significan el resto de números? Podemos observar la siguiente relación; 481 es el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde 319 es uno de los catetos. ¿Dónde está el cateto que nos faltaría para cumplir el teorema de Pitágoras? El otro cateto tendría que valer 360, y si hacemos el cociente entre la hipotenusa y el número 360 es 1,33611111, y el cuadrado de ese número es 1,785192901. Estas operaciones intermedias son el residuo del método que utilizaban los sumerios para construir triángulos pitagóricos. Para hallar los valores de un triángulo que cumpliera el teorema aplicaban una fórmula, la cual funcionaba si se limitaban algunos valores. Utilizando esta metodología se podían obtener 38 pares de números X e Y que satisfacían las condiciones y cumplían el Teorema de Pitágoras, el cual aún no conocían. En nuestra tablilla tenemos los 15 primeros números que cumplen todas las condiciones, y las proporciones del triángulo de la sexta linea que hemos descifrado en este post sería la siguiente [4]:

Figura 6. Triángulo teórico construido con los datos de la tablilla Pimptlon322

Vemos que el sistema numeral sumerio permitió hace 4000 años realizar cálculos muy precisos, construir triángulos que cumplían el Teorema de Pitágoras, realizar predicciones astronómicas o avanzar en aspectos como la medición del tiempo. Todo ello gracias a un sistema numérico posicional donde el cero aún no había nacido realmente, ya que era usado únicamente como un indicador de vacío entre diferentes números. Los sumerios y los babilonios estuvieron muy cerca de enunciar al cero como un número, y el hecho de haber creado un sistema numérico tan práctico les permitió ser la civilización más avanzada del mundo durante muchos siglos. Hemos recibido una innegable herencia cultural matemática de los babilonios, y cuando decimos que en una hora hay sesenta minutos lo hacemos gracias a una persona que, hace más de 4.000 años, decidió contar números con las falanges de una mano.

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[1] http://ulum.es/historia-de-los-numeros-i-el-cero-los-numeros-romanos-y-los-numeros-indoarabigos/

[2] http://plus.maths.org/content/os/issue11/features/compound/index

[3] http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2010/REUPapers/Anand.pdf

[4] Estos datos no han sido calculados para este artículo, han sido obtenido de esta página web: http://tonyfdez.blogspot.com.es/2014/08/el-teorema-de-pitagoras-la-tablilla.html

Historia de los números III.

Hemos visto muchos tipos de sistemas numéricos en los artículos anteriores de Historia de los números, hemos caminado junto a sumerios, babilonios, romanos e hindúes, y hemos aclarado cómo aprendieron a navegar en los incipientes mares de las matemáticas. Muchas civilizaciones conocieron el cero, pero solo los hindúes aprendieron a operar con él. Fue por ello por lo que actualmente casi todas las culturas utilizan su sistema numérico, pero hay más historias interesantes que contar sobre el resto de sistemas numéricos.

Una de estas historias ocurrió en al antiguo Egipto, aproximadamente hace 5.000 años. Si los sumerios fueron los primeros en crear un sistema numeral posicional y los hindúes entendieron por primera vez la naturaleza matemática del cero, los egipcios también fueron los primeros en algo, ya que desarrollaron el primer sistema numérico con base diez, es decir, un sistema donde las cantidades se representaban utilizando como base aritmética las potencias del número diez. No obstante su sistema numérico no era posicional.

Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar sus números, algunos de los cuales han sido dibujados en la siguiente figura.

 Figura 1. Representación de algunos jeroglíflicos que indicaban cantidades numéricas

Al no tener un sistema numeral posicional, los egipcios tenían serios problemas para representar números largos. Por ejemplo, para escribir el número 5.877.963 habrían tenido que dibujar cinco hombres con los brazos en cruz, ocho ranas, siete dedos, siete flores de loto, nueve espirales, seis arcos y tres palitos. Daba igual el orden de colocación, lo importante era que todos los elementos estuvieran representados. Más adelante, para intentar acortar la longitud de los números grandes, se introdujeron otros símbolos para números intermedios como el veinte o el novecientos, con lo cual se disminuía el número de signos necesarios para escribir una cifra. Algo parecido ocurriría algunos milenios después con el sistema numeral romano, tal cual vimos anteriormente, cuando se intentó adaptar a los tiempos modernos con la cuenta castellana. A ellos tampoco les funcionó.

Viendo de cerca el sistema numeral egipcio podemos concluir que, a pesar de tener el primer sistema numeral basado en el número diez, no era demasiado efectivo. Al no ser posicional los números grandes tardaban mucho tiempo en escribirse y, por otro lado, su complejidad impedía hacer cálculos importantes. Cierto es que los egipcios usaban una escritura simplificada llamada hierática, aunque ni esto ni la adición de nuevos símbolos mejoró sustancialmente la forma de representar sus números.

El papiro Boulaq 18 y el número cero

Los egipcios también utilizaron, al menos en algún momento de su historia, un concepto numérico que se aproximaba al cero numérico que conocemos hoy en día. Existe un papiro denominado Boulaq 18 donde se utiliza un símbolo para el número cero. Esta es la única referencia donde se puede observar este hecho, por lo que se considera que su uso no estaba muy extendido ni era habitual, quedando más como una simple curiosidad que como un avance real. Si reflexionamos sobre este sistema numérico, al no ser posicional no surgió la necesidad de que el cero adoptara un valor en la forma de representar los números, así que del mismo modo que los sumerios descubrieron el cero como un elemento posicional para distinguir números (algo parecido a cuando nosotros diferenciamos el 606 del 66), los egipcios descubrieron justo lo contrario, el cero como la ausencia de algo. Para los sumerios no existía un concepto de ausencia de una cantidad, y para los egipcios no  existía la necesidad de usar el cero con un valor posicional. Fueron los hindúes quienes combinaron estos dos conceptos de cero y quienes descubrieron las reglas para operar matemáticamente con él.

El papiro Rhind

Continuando con nuestra historia, ahora hablaremos del Papiro Rhind, el cual contiene muchos tipos diferentes de problemas matemáticos. El documento en cuestión mide seis metros de longitud por 32 cm de anchura, y fue escrito en el siglo XVI a.C., aunque es una copia de otro documento del siglo XIX a. C.

Figura 2. Papiro Rhind, donde podemos encontrar muchos problemas matemáticos y sus soluciones.

El papiro fue comprado por Henry Rhind en 1858, y de ahí viene su nombre. La parte más importante del documento es lo que está escrito en él, ya que es un texto para enseñar matemáticas, lo cual nos puede hacer entender, de manera aproximada, el nivel de la educación numérica en el Egipto de hace 4000 años. El papiro contiene 87 problemas matemáticos con cuestiones que se pueden clasificar como operaciones de números enteros y fraccionarios, resolución de ecuaciones de primer grado, progresiones aritméticas y geométricas, volúmenes y capacidades, áreas de figuras planas y cuestiones relativas a proporciones. Algunos de los problemas que he visto se asemejan a los de 4º de la ESO y 1º de bachiller, así que podemos deducir que su nivel matemático no era despreciable, sobre todo sabiendo que estamos remontándonos 4.000 años en el tiempo.

Sobre las fracciones que encontramos en el papiro, es remarcable que los egipcios conocían los números fraccionarios, pero solo como suma de fracciones unitarias (las de la forma 1/n cuando n es un número natural). De hecho, este tipo de fracciones es conocido actualmente como fracciones egipcias por este motivo. Ellos, para representar 5/6, tenían que hacer una suma de dos números, en este caso 1/3  y 1/2. De este modo podían representar cualquier fracción, aunque de una forma mucho más larga que la usada actualmente.

Los egipcios desarrollaron las matemáticas de una forma importante, casi al mismo nivel que sus contemporáneos sumerios y babilonios. Cuando reflexiono sobre los conocimientos obtenidos por esta gente usando como herramientas palos, cuerdas y piedras, siento como se me encoge el corazón. Después de 4000 años, muchos de los estudiantes  de nuestro sistema educativo no dominan muchas de las cosas que esta gente aprendió hace cuatro milenios, y es cuando me doy cuenta del poderío intelectual de nuestros antepasados y de la magnitud del problema educativo actual.

La historia de los números no es solo una mera curiosidad matemática. Contar y calcular es algo intrínseco a la naturaleza humana, desde el cazador-recolector que tenía que dividir las presas por el número de personas, hasta el primer ser humano que quiso saber cuántos dedos tenía en una mano. Los números nos dan herramientas poderosas para evolucionar como sociedad, para mejorar nuestra vida diaria y para hacer realidad nuestros sueños. Por eso las matemáticas se desarrollaron de manera independiente en civilizaciones lejanas, y por eso cruzaremos próximamente el Océano Atlántico para ver cómo contaban allí las estrellas.

Historia de los números IV

En otros capítulos de Historia de los números hablamos de algunos sistemas numerales de civilizaciones del viejo mundo. Pero al mismo tiempo, en la América precolombina, los seres humanos también necesitaban contar y calcular. Se ha dicho muchas veces que la música es un lenguaje universal, pero mi opinión al respecto es que, lo que hay realmente de universal en la música, son las matemáticas y la física que se esconden detrás de ella. Lo que sí que ha surgido de manera independiente en casi todas las civilizaciones humanas, se mire como se mire, ha sido el lenguaje matemático. Los mayas, sin ningún contacto conocido con culturas del viejo mundo, idearon un sistema de numeración propio. Ellos podían representar cualquier cantidad de tres maneras diferentes. Esas tres formas eran complejas, siendo la primera de ellas un método que usaba puntos y rayas; la segunda una numeración cefalomorfa, ya que usaba diferentes tipos de cabezas para los diferentes números; y por último, una numeración conocida como antropomorfa donde los símbolos eran representados con figuras humanas.

Nosotros nos centraremos en el sistema basado en los puntos y rayas, al ser el más usado y el más conocido. Los mayas agrupaban las cantidades de 20 en 20, del mismo modo que nosotros las agrupamos de 10 en 10 o los babilonios lo hacían de 60 en 60.

Los tres símbolos básicos usados en la numeración maya eran el punto, que tenía un valor de 1; la raya, que valía 5; y el caracol, que tenía el valor de vacío posicional, aunque eso lo explicaremos de forma detallada más adelante.

Por ejemplo, para escribir el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se podía continuar hasta el 19, que era el máximo valor que podía escribirse en un nivel determinado, del mismo modo que nosotros solo podemos escribir un 9 antes de pasar al siguiente nivel. Por ejemplo, nosotros después del 509 pasamos al 510. Ellos hacían exactamente lo mismo pero al llegar a las veinte unidades.

Figura 1: Representación de los primeros números mayas. Es necesario remarcar que, aunque el cero está indicado como número, para ellos solo tenía un valor posicional.

Que el sistema de numeración sea posicional significa que, para escribir un número más grande que veinte, se usaban exactamente los mismos símbolos aunque variando su posición. Más adelante pondré un ejemplo de lo que voy a decir a continuación, ya que es posible que sea una parte difícil de comprender. Los mayas escribían los números de abajo hacia arriba, y al llegar al número veinte había que poner un punto y escribir en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escribían las unidades, en el segundo los grupos de 20 (veintenas), en el tercero se posicionaban los grupos de 20×20, y en el cuarto se escribían los grupos de 20×20×20, del mismo modo que cuando escribimos el número 4321, el uno hace referencia a las unidades, el dos a las decenas, el tres a las centenas (10×10) y el cuatro a las unidades de millar (10x10x10). Para visualizar esto usaré unos ejemplos:

Por ejemplo, en el 4916 el 16 del primer orden vale exactamente 16, pero el 5 del segundo orden vale 5×20=100, y el 12 del tercer orden vale 12x20x20=4800. Si sumamos todos los números obtenemos el 4916.

Si ya habéis leído los post anteriores de Historia de los números, ya sabréis que para un sistema numeral posicional es muy importante indicar el espacio vacío de alguna manera, y de hecho ese fue el origen del cero posicional para los babilonios, y por convergencia también lo fue para los mayas. Pongamos por ejemplo los números de la siguiente tabla:

Vemos que para escribir el 9, el 180 y el 3600 se usaría el mismo símbolo, pero, ¿cómo rellenaban los huecos para saber que en el nivel correspondiente no había nada? Con su idea del cero posicional:

Figura 2. Símbolo maya para el espacio vacío.

De este modo, los anteriores números quedarían mejor indicados tal cual se observa en la siguiente tabla:

La civilización maya fue la primera de América en idear el cero, aunque solo con un valor posicional, es decir, no era un número como lo conocemos hoy en día, ya que en nuestro caso cumple un valor posicional y, además, el papel de indicar la ausencia de una cantidad. El cero posicional maya recuerda a un caracol o una semilla, aunque también era representado mediante una mano bajo una espiral.

En América Central los mayas se configuraron como una civilización emergente con grandes avances en las matemáticas y la astronomía, y su sistema numeral fue el que les permitió llegar tan lejos en ambas materias. Con la invención de este sistema numeral usaron sus conocimientos matemáticos para hacer cálculos en astronomía. De hecho, los mayas estudiaron de forma precisa los movimientos del Sol, la Luna y Venus. También llegaron a la conclusión de que el año solar tenía 365,242 días (recordemos que la cifra real es de 365,242198). Los astrónomos mayas no tenían instrumentos avanzados para realizar estos cálculos. Esto nos da una idea de la importancia que puede tener un buen sistema numérico para una civilización, ya que controlar tan bien la astronomía les permitió controlar mejor los ciclos anuales, y de este modo pudieron adaptarse mejor a su entorno y modificarlo de forma más eficaz.

A veces, al recapacitar sobre las convergencias en los sistemas numéricos que ha desarrollado la humanidad, no puedo evitar dejarme llevar y especular sobre cómo serían los sistemas numéricos de otras civilizaciones no humanas. ¿También habrán desarrollado un sistema numeral posicional?, ¿habrán inventado un concepto de cero parecido al nuestro? Supongo que las convergencias a sistemas numéricos posicionales en civilizaciones humanas tan dispersas no son totalmente independientes, de hecho, algo tan insignificante como compartir el mismo número de dedos les ha afectado de forma significativa. Siempre que pienso en este hecho me doy cuenta de cómo la biología puede afectar a nuestra cultura sin que nos demos cuenta. Los números 10, 20 y 60 no fueron elegidos al azar por los romanos, los chinos, los hindúes, los mayas y los babilonios, sino que hubo detrás de ellos un fuerte determinismo biológico, centrado principalmente en la cantidad de dedos. Si bien los romanos, hindúes y chinos eligieron en número diez por los dedos de las manos, y los babilonios el número sesenta por un determinado número de falanges, los mayas eligieron, posiblemente, el número veinte por los dedos presentes en las manos y en los pies. ¿Habrá afectado también la estructura cerebral y nuestra herencia evolutiva a esas convergencias?, ¿podríamos estar sesgando de forma antropocéntrica nuestro concepto de sistema numérico? Son preguntas interesantes, aunque de difícil respuesta.

Los mayas desarrollaron un sistema numeral tan parecido al nuestro que al compararlos resulta muy fácil comprenderlo. No obstante, su sistema numérico y sus conocimientos sobre astronomía quedaron atrapados en una América aún desconocida para Europa, Asia y África, las cuales sí que tenían contacto entre ellas. Para entender por qué nosotros, herederos culturales de las civilizaciones clásicas, usamos un sistema numeral nacido en la India, tendremos que volver al viejo mundo, dejando atrás un sistema numeral posicional tan avanzado que, si la historia hubiera sido un poco diferente, tal vez podría haber sido el nuestro.